Showing posts with label prime factors. Show all posts
Showing posts with label prime factors. Show all posts

Monday, 26 October 2026

Hidden Numbers: A Generalisation

In my two previous posts, I've looked at how to find the digit sequences 666 and 888 hidden within the factorisation of certain composite numbers. However, I got Gemini to write a program that would search for any combination of digits, provided those digits form a composite number and remembering that these digits cannot appear in the originating number.

Let's take James Bond's "707" as an example. We don't want 0 or 7 to appear in the number and it can't appear in the prime factorisation because it's not prime. However, we need it to appear when we combine the prime factors in a certain way. Here was the result in the range from 4 to 40000 (permalink):


The more restrictive we make it of course the fewer numbers that turn up. Let's try with "789" (permalink):

┌────────┬─────────────────────┬────────────────────────┐
│ Number | Prime Factorisation | Adjusted Factorisation |
╞════════╪═════════════════════╪════════════════════════╡
│ 3156   | 2^2 * 3 * 263       | 2 * 2 * 789            |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 6312   | 2^3 * 3 * 263       | 2 * 2 * 2 * 789        |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 12624  | 2^4 * 3 * 263       | 2 * 2 * 2 * 2 * 789    |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 14202  | 2 * 3^3 * 263       | 2 * 3 * 3 * 789        |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 15156  | 2^2 * 3^2 * 421     | 2 * 2 * 3789           |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 20514  | 2 * 3 * 13 * 263    | 2 * 13 * 789           |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 21303  | 3^4 * 263           | 3 * 3 * 3 * 789        |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 30312  | 2^3 * 3^2 * 421     | 2 * 2 * 2 * 3789       |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 31560  | 2^3 * 3 * 5 * 263   | 2 * 2 * 2 * 5 * 789    |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34101  | 3^4 * 421           | 3 * 3 * 3789           |
├────────┼─────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35505  | 3^3 * 5 * 263       | 3 * 3 * 5 * 789        |
└────────┴─────────────────────┴────────────────────────┘

============================================================

Suitable numbers:
3156, 6312, 12624, 14202, 15156, 20514, 21303, 30312, 31560, 34101, 35505

Total count in range [4, 40000]: 11

These examples are just for demonstration purposes. Most of the time interest will focus around the repdigits from 111 to 999 with 666 and 888 being predominant.
Posted by at No comments:
Labels: , , , , ,

Hidden Jesus Numbers

Having just posted about hidden beast numbers in Even More Hidden Beast Numbers, the algorithm that I used there can be easily modified to accommodate digit sequences other than 666. Of particular interest is the digit sequence 888 that has the following associations (copied from Gemini):

In Christian numerology and Gematria (the practice of assigning numerical values to letters), 888 is most famously known as the numerical value of the name of Jesus in the original Greek language. [1, 2]
1. The Greek Gematria of "Jesus"
In Koine Greek, the alphabet doubles as a numeral system. When you add up the letters in the Greek name for Jesus (Iēsous, ΙΗΣΟΥΣ), the sum equals 888: [1, 2]
    • Ι (Iota) = 10
    • Η (Eta) = 8
    • Σ (Sigma) = 200
    • Ο (Omicron) = 70
    • Î¥ (Upsilon) = 400
    • Σ (Sigma) = 200
    • Total = 888 [1]
2. Symbolism of the Number 8 in the Bible
Because 888 is an amplification of the digit 8, it carries the biblical meaning associated with the number eight:
    • New Beginnings and Rebirth: Seven is traditionally the number of spiritual completion (e.g., the seven days of creation), making eight the symbol for what comes after completion—a new creation, resurrection, or fresh start.
    • Resurrection: Jesus rose from the dead, and the early church often referred to the resurrection day as the "eighth day" of the week.
    • Noah’s Ark: Eight people (Noah, his wife, their three sons, and their wives) were saved through the flood to renew humanity.
    • Circumcision: Commanded under the Old Covenant to take place on the eighth day of a male child's life, symbolizing a spiritual covenant. [1, 2, 3, 4]
3. Contrast with 666
In Christian theology—specifically the Book of Revelation—666 is cited as the number of the beast, representing human imperfection, fallen systems, and evil. By contrast, 888 represents Christ's complete triumph over sin, death, and imperfection. [1]
Discernment Regarding "Angel Numbers"
While popular culture and modern numerology often label 888 as an "angel number" tied to financial abundance or material manifestation, Christian teachers typically emphasize spiritual stewardship. Rather than viewing repeated numbers as magical guarantees or independent prophecies, traditional Christian discernment urges believers to test any sign against Scripture and anchor focus on Christ rather than wealth manifestation. [1, 2]
Here is the adjusted query that I used:
Write a program in SageMath that will examine all positive, composite integers in a given range. Let the default range be from 4 to 40000. The criteria to be applied are that the number does not have "6" as a digit and neither do any of its prime factors. However, the prime factors can be combined to form a composite factor containing the digit sequence "666". Output should be a table showing the number, its prime factorisation and its adjusted factorisation. Output should also include a comma-separated list of suitable numbers along with a count of how many there are in the given range.

Here is the output (permalink):

┌────────┬──────────────────────┬────────────────────────┐
│ Number │ Prime Factorisation  │ Adjusted Factorisation │
╞════════╪══════════════════════╪════════════════════════╡
│ 1776   │ 2^4 * 3 * 37         │ 2 * 888                │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 2664   │ 2^3 * 3^2 * 37       │ 3 * 888                │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 3552   │ 2^5 * 3 * 37         │ 2 * 2 * 888            │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 3776   │ 2^6 * 59             │ 2 * 1888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 4440   │ 2^3 * 3 * 5 * 37     │ 5 * 888                │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 5664   │ 2^5 * 3 * 59         │ 3 * 1888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 5776   │ 2^4 * 19^2           │ 2 * 2888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 6216   │ 2^3 * 3 * 7 * 37     │ 7 * 888                │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 7104   │ 2^6 * 3 * 37         │ 2 * 2 * 2 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 7552   │ 2^7 * 59             │ 2 * 2 * 1888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 7776   │ 2^5 * 3^5            │ 2 * 3888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 7992   │ 2^3 * 3^3 * 37       │ 3 * 3 * 888            │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 9440   │ 2^5 * 5 * 59         │ 5 * 1888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 9776   │ 2^4 * 13 * 47        │ 2 * 4888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 10656  │ 2^5 * 3^2 * 37       │ 2 * 2 * 3 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 11544  │ 2^3 * 3 * 13 * 37    │ 13 * 888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 11552  │ 2^5 * 19^2           │ 2 * 2 * 2888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 11664  │ 2^4 * 3^6            │ 3 * 3888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 11776  │ 2^9 * 23             │ 2 * 5888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 12432  │ 2^4 * 3 * 7 * 37     │ 2 * 7 * 888            │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 13216  │ 2^5 * 7 * 59         │ 7 * 1888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 13320  │ 2^3 * 3^2 * 5 * 37   │ 3 * 5 * 888            │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 13776  │ 2^4 * 3 * 7 * 41     │ 2 * 6888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 14440  │ 2^3 * 5 * 19^2       │ 5 * 2888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 14664  │ 2^3 * 3 * 13 * 47    │ 3 * 4888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 15096  │ 2^3 * 3 * 17 * 37    │ 17 * 888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 15104  │ 2^8 * 59             │ 2 * 2 * 2 * 1888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 15552  │ 2^6 * 3^5            │ 2 * 2 * 3888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 15776  │ 2^5 * 17 * 29        │ 2 * 7888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 16992  │ 2^5 * 3^2 * 59       │ 3 * 3 * 1888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17664  │ 2^8 * 3 * 23         │ 3 * 5888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17760  │ 2^5 * 3 * 5 * 37     │ 2 * 2 * 5 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17764  │ 2^2 * 4441           │ 2 * 8882               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17766  │ 2 * 3^3 * 7 * 47     │ 2 * 8883               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17770  │ 2 * 5 * 1777         │ 2 * 8885               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 17776  │ 2^4 * 11 * 101       │ 2 * 8888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 19440  │ 2^4 * 3^5 * 5        │ 5 * 3888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 19536  │ 2^4 * 3 * 11 * 37    │ 2 * 11 * 888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 19552  │ 2^5 * 13 * 47        │ 2 * 2 * 4888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 19776  │ 2^6 * 3 * 103        │ 2 * 9888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 20216  │ 2^3 * 7 * 19^2       │ 7 * 2888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 20424  │ 2^3 * 3 * 23 * 37    │ 23 * 888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 20664  │ 2^3 * 3^2 * 7 * 41   │ 3 * 6888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 21312  │ 2^6 * 3^2 * 37       │ 2 * 2 * 2 * 3 * 888    │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 21776  │ 2^4 * 1361           │ 2 * 10888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 22200  │ 2^3 * 3 * 5^2 * 37   │ 5 * 5 * 888            │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 22656  │ 2^7 * 3 * 59         │ 2 * 2 * 3 * 1888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 23104  │ 2^6 * 19^2           │ 2 * 2 * 2 * 2888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 23552  │ 2^10 * 23            │ 2 * 2 * 5888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 23664  │ 2^4 * 3 * 17 * 29    │ 3 * 7888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 23776  │ 2^5 * 743            │ 2 * 11888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 23976  │ 2^3 * 3^4 * 37       │ 3 * 3 * 3 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 24440  │ 2^3 * 5 * 13 * 47    │ 5 * 4888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 24544  │ 2^5 * 13 * 59        │ 13 * 1888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 25752  │ 2^3 * 3 * 29 * 37    │ 29 * 888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 25776  │ 2^4 * 3^2 * 179      │ 2 * 12888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 25992  │ 2^3 * 3^2 * 19^2     │ 3 * 3 * 2888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26432  │ 2^6 * 7 * 59         │ 2 * 7 * 1888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26640  │ 2^4 * 3^2 * 5 * 37   │ 2 * 3 * 5 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26646  │ 2 * 3 * 4441         │ 3 * 8882               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26649  │ 3^4 * 7 * 47         │ 3 * 8883               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26652  │ 2^2 * 3 * 2221       │ 3 * 8884               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26655  │ 3 * 5 * 1777         │ 3 * 8885               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26664  │ 2^3 * 3 * 11 * 101   │ 3 * 8888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 26667  │ 3^2 * 2963           │ 3 * 8889               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 27216  │ 2^4 * 3^5 * 7        │ 7 * 3888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 27552  │ 2^5 * 3 * 7 * 41     │ 2 * 2 * 6888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 27776  │ 2^7 * 7 * 31         │ 2 * 13888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 29304  │ 2^3 * 3^2 * 11 * 37  │ 3 * 11 * 888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 29440  │ 2^8 * 5 * 23         │ 5 * 5888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 29664  │ 2^5 * 3^2 * 103      │ 3 * 9888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 30192  │ 2^4 * 3 * 17 * 37    │ 2 * 17 * 888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 31104  │ 2^7 * 3^5            │ 2 * 2 * 2 * 3888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 31552  │ 2^6 * 17 * 29        │ 2 * 2 * 7888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 31776  │ 2^5 * 3 * 331        │ 2 * 15888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 32096  │ 2^5 * 17 * 59        │ 17 * 1888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 32664  │ 2^3 * 3 * 1361       │ 3 * 10888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 33744  │ 2^4 * 3 * 19 * 37    │ 2 * 19 * 888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 33776  │ 2^4 * 2111           │ 2 * 16888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34216  │ 2^3 * 7 * 13 * 47    │ 7 * 4888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34440  │ 2^3 * 3 * 5 * 7 * 41 │ 5 * 6888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34632  │ 2^3 * 3^2 * 13 * 37  │ 3 * 13 * 888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34656  │ 2^5 * 3 * 19^2       │ 2 * 2 * 3 * 2888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 34992  │ 2^4 * 3^7            │ 3 * 3 * 3888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35520  │ 2^6 * 3 * 5 * 37     │ 2 * 2 * 2 * 5 * 888    │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35532  │ 2^2 * 3^3 * 7 * 47   │ 2 * 2 * 8883           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35536  │ 2^4 * 2221           │ 2 * 2 * 8884           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35540  │ 2^2 * 5 * 1777       │ 2 * 2 * 8885           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35552  │ 2^5 * 11 * 101       │ 2 * 2 * 8888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35556  │ 2^2 * 3 * 2963       │ 2 * 2 * 8889           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35664  │ 2^4 * 3 * 743        │ 3 * 11888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 35776  │ 2^6 * 13 * 43        │ 2 * 17888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37296  │ 2^4 * 3^2 * 7 * 37   │ 2 * 3 * 7 * 888        │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37544  │ 2^3 * 13 * 19^2      │ 13 * 2888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37760  │ 2^7 * 5 * 59         │ 2 * 2 * 5 * 1888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37762  │ 2 * 79 * 239         │ 2 * 18881              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37764  │ 2^2 * 3^2 * 1049     │ 2 * 18882              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37770  │ 2 * 3 * 5 * 1259     │ 2 * 18885              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37772  │ 2^2 * 7 * 19 * 71    │ 2 * 18886              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 37774  │ 2 * 11 * 17 * 101    │ 2 * 18887              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39072  │ 2^5 * 3 * 11 * 37    │ 2 * 2 * 11 * 888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39104  │ 2^6 * 13 * 47        │ 2 * 2 * 2 * 4888       │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39440  │ 2^4 * 5 * 17 * 29    │ 5 * 7888               │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39552  │ 2^7 * 3 * 103        │ 2 * 2 * 9888           │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39776  │ 2^5 * 11 * 113       │ 2 * 19888              │
├────────┼──────────────────────┼────────────────────────┤
│ 39960  │ 2^3 * 3^3 * 5 * 37   │ 3 * 3 * 5 * 888        │ 


Suitable numbers: 

1776, 2664, 3552, 3776, 4440, 5664, 5776, 6216, 7104, 7552, 7776, 7992, 9440, 9776, 10656, 11544, 11552, 11664, 11776, 12432, 13216, 13320, 13776, 14440, 14664, 15096, 15104, 15552, 15776, 16992, 17664, 17760, 17764, 17766, 17770, 17776, 19440, 19536, 19552, 19776, 20216, 20424, 20664, 21312, 21776, 22200, 22656, 23104, 23552, 23664, 23776, 23976, 24440, 24544, 25752, 25776, 25992, 26432, 26640, 26646, 26649, 26652, 26655, 26664, 26667, 27216, 27552, 27776, 29304, 29440, 29664, 30192, 31104, 31552, 31776, 32096, 32664, 33744, 33776, 34216, 34440, 34632, 34656, 34992, 35520, 35532, 35536, 35540, 35552, 35556, 35664, 35776, 37296, 37544, 37760, 37762, 37764, 37770, 37772, 37774, 39072, 39104, 39440, 39552, 39776, 39960 

Total count in range [4, 40000]: 106
Posted by at No comments:
Labels: , , , ,

Even More Hidden Beast Numbers

In a post titled Hidden Beast Numbers from the 6th August 2023 (Hiroshima Day), I looked at numbers whose sum of prime factors (with and without multiplicity) add to 666. An example would be 998515 where$$ \begin{align} 998515 = 5 \times 7 \times 47 \times 607\\5+7+47+607=666 \end{align}$$In a later post titled More Hidden Beast Numbers from the 21st August 2024, I looked at numbers where the digit sequence 666 shows up when they are rendered in other bases. An example would be 27534 where$$39862_{10}=115666_8$$Today, the number associated with my diurnal age (28330) has the property that$$ \begin{align} 28330 &=2 \times 5 \times 2833 \\ &=5 \times 5666 \end{align}$$I got Gemini to write a program using the following prompt:

Write a program in SageMath that will examine all positive, composite integers in a given range. Let the default range be from 4 to 40000. The criteria to be applied are that the number does not have "6" as a digit and neither do any of its prime factors. However, the prime factors can be combined to form a composite factor containing the digit sequence "666". An example would be 28330 = 2 * 5 * 2833. When factored as 5 * 5666, the factor "5666" contains the digit sequence "666". Output should be a table showing the number, its prime factorisation and its adjusted factorisation. Output should also include a comma-separated list of suitable numbers along with a count of how many there are in the given range.

Here is the output (permalink):

│ Number │ Prime Factorisation  │ Adjusted Factorisation  │
╞════════╪══════════════════════╪═════════════════════════╡
│ 1332   │ 2^2 * 3^2 * 37       │ 2 * 666                 │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 1998   │ 2 * 3^3 * 37         │ 3 * 666                 │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 3330   │ 2 * 3^2 * 5 * 37     │ 5 * 666                 │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 3332   │ 2^2 * 7^2 * 17       │ 2 * 1666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 4998   │ 2 * 3 * 7^2 * 17     │ 3 * 1666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 5328   │ 2^4 * 3^2 * 37       │ 2 * 2 * 2 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 5332   │ 2^2 * 31 * 43        │ 2 * 2666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 5994   │ 2 * 3^4 * 37         │ 3 * 3 * 666             │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 7332   │ 2^2 * 3 * 13 * 47    │ 2 * 3666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 7992   │ 2^3 * 3^3 * 37       │ 2 * 2 * 3 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 7998   │ 2 * 3 * 31 * 43      │ 3 * 2666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 8330   │ 2 * 5 * 7^2 * 17     │ 5 * 1666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 9324   │ 2^2 * 3^2 * 7 * 37   │ 2 * 7 * 666             │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 9332   │ 2^2 * 2333           │ 2 * 4666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 9990   │ 2 * 3^3 * 5 * 37     │ 3 * 5 * 666             │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 10998  │ 2 * 3^2 * 13 * 47    │ 3 * 3666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 11322  │ 2 * 3^2 * 17 * 37    │ 17 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 11332  │ 2^2 * 2833           │ 2 * 5666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 11988  │ 2^2 * 3^4 * 37       │ 2 * 3 * 3 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13320  │ 2^3 * 3^2 * 5 * 37   │ 2 * 2 * 5 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13324  │ 2^2 * 3331           │ 2 * 6662                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13328  │ 2^4 * 7^2 * 17       │ 2 * 2 * 2 * 1666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13330  │ 2 * 5 * 31 * 43      │ 5 * 2666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13332  │ 2^2 * 3 * 11 * 101   │ 2 * 6666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13334  │ 2 * 59 * 113         │ 2 * 6667                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13338  │ 2 * 3^3 * 13 * 19    │ 2 * 6669                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 13998  │ 2 * 3 * 2333         │ 3 * 4666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 14994  │ 2 * 3^2 * 7^2 * 17   │ 3 * 3 * 1666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 15318  │ 2 * 3^2 * 23 * 37    │ 23 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 15332  │ 2^2 * 3833           │ 2 * 7666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 15984  │ 2^4 * 3^3 * 37       │ 2 * 2 * 2 * 3 * 666     │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 17982  │ 2 * 3^5 * 37         │ 3 * 3 * 3 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 18330  │ 2 * 3 * 5 * 13 * 47  │ 5 * 3666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19314  │ 2 * 3^2 * 29 * 37    │ 29 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19332  │ 2^2 * 3^3 * 179      │ 2 * 9666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19980  │ 2^2 * 3^3 * 5 * 37   │ 2 * 3 * 5 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19989  │ 3^2 * 2221           │ 3 * 6663                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19992  │ 2^3 * 3 * 7^2 * 17   │ 2 * 2 * 3 * 1666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19995  │ 3 * 5 * 31 * 43      │ 3 * 6665                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 19998  │ 2 * 3^2 * 11 * 101   │ 3 * 6666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 20001  │ 3 * 59 * 113         │ 3 * 6667                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 20007  │ 3^4 * 13 * 19        │ 3 * 6669                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 21312  │ 2^6 * 3^2 * 37       │ 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 666 │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 21328  │ 2^4 * 31 * 43        │ 2 * 2 * 2 * 2666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 21332  │ 2^2 * 5333           │ 2 * 10666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 21978  │ 2 * 3^3 * 11 * 37    │ 3 * 11 * 666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 22998  │ 2 * 3 * 3833         │ 3 * 7666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 23310  │ 2 * 3^2 * 5 * 7 * 37 │ 5 * 7 * 666             │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 23324  │ 2^2 * 7^3 * 17       │ 2 * 7 * 1666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 23330  │ 2 * 5 * 2333         │ 5 * 4666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 23332  │ 2^2 * 19 * 307       │ 2 * 11666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 23994  │ 2 * 3^2 * 31 * 43    │ 3 * 3 * 2666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 24990  │ 2 * 3 * 5 * 7^2 * 17 │ 3 * 5 * 1666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 25308  │ 2^2 * 3^2 * 19 * 37  │ 2 * 19 * 666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 25332  │ 2^2 * 3 * 2111       │ 2 * 12666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 25974  │ 2 * 3^3 * 13 * 37    │ 3 * 13 * 666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 27972  │ 2^2 * 3^3 * 7 * 37   │ 2 * 3 * 7 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 28322  │ 2 * 7^2 * 17^2       │ 17 * 1666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 28330  │ 2 * 5 * 2833         │ 5 * 5666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 28998  │ 2 * 3^4 * 179        │ 3 * 9666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 29304  │ 2^3 * 3^2 * 11 * 37  │ 2 * 2 * 11 * 666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 29328  │ 2^4 * 3 * 13 * 47    │ 2 * 2 * 2 * 3666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 29332  │ 2^2 * 7333           │ 2 * 14666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 29970  │ 2 * 3^4 * 5 * 37     │ 3 * 3 * 5 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 29988  │ 2^2 * 3^2 * 7^2 * 17 │ 2 * 3 * 3 * 1666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 31302  │ 2 * 3^2 * 37 * 47    │ 47 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 31332  │ 2^2 * 3 * 7 * 373    │ 2 * 15666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 31992  │ 2^3 * 3 * 31 * 43    │ 2 * 2 * 3 * 2666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 31998  │ 2 * 3 * 5333         │ 3 * 10666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 32994  │ 2 * 3^3 * 13 * 47    │ 3 * 3 * 3666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33300  │ 2^2 * 3^2 * 5^2 * 37 │ 2 * 5 * 5 * 666         │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33310  │ 2 * 5 * 3331         │ 5 * 6662                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33315  │ 3 * 5 * 2221         │ 5 * 6663                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33320  │ 2^3 * 5 * 7^2 * 17   │ 2 * 2 * 5 * 1666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33324  │ 2^2 * 3 * 2777       │ 2 * 16662               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33325  │ 5^2 * 31 * 43        │ 5 * 6665                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33328  │ 2^4 * 2083           │ 2 * 16664               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33330  │ 2 * 3 * 5 * 11 * 101 │ 5 * 6666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33334  │ 2 * 7 * 2381         │ 2 * 16667               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33335  │ 5 * 59 * 113         │ 5 * 6667                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33338  │ 2 * 79 * 211         │ 2 * 16669               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 33345  │ 3^3 * 5 * 13 * 19    │ 5 * 6669                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 34998  │ 2 * 3 * 19 * 307     │ 3 * 11666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 35298  │ 2 * 3^2 * 37 * 53    │ 53 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 35332  │ 2^2 * 11^2 * 73      │ 2 * 17666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 37324  │ 2^2 * 7 * 31 * 43    │ 2 * 7 * 2666            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 37328  │ 2^4 * 2333           │ 2 * 2 * 2 * 4666        │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 37998  │ 2 * 3^2 * 2111       │ 3 * 12666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 38318  │ 2 * 7^2 * 17 * 23    │ 23 * 1666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 38330  │ 2 * 5 * 3833         │ 5 * 7666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39294  │ 2 * 3^2 * 37 * 59    │ 59 * 666                │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39332  │ 2^2 * 9833           │ 2 * 19666               │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39972  │ 2^2 * 3 * 3331       │ 2 * 3 * 6662            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39978  │ 2 * 3^2 * 2221       │ 2 * 3 * 6663            │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39984  │ 2^4 * 3 * 7^2 * 17   │ 2 * 2 * 2 * 3 * 1666    │
├────────┼──────────────────────┼─────────────────────────┤
│ 39990  │ 2 * 3 * 5 * 31 * 43  │ 3 * 5 * 2666            │
└────────┴──────────────────────┴─────────────────────────┘

Suitable numbers: 
 
1332, 1998, 3330, 3332, 4998, 5328, 5332, 5994, 7332, 7992, 7998, 8330, 9324, 9332, 9990, 10998, 11322, 11332, 11988, 13320, 13324, 13328, 13330, 13332, 13334, 13338, 13998, 14994, 15318, 15332, 15984, 17982, 18330, 19314, 19332, 19980, 19989, 19992, 19995, 19998, 20001, 20007, 21312, 21328, 21332, 21978, 22998, 23310, 23324, 23330, 23332, 23994, 24990, 25308, 25332, 25974, 27972, 28322, 28330, 28998, 29304, 29328, 29332, 29970, 29988, 31302, 31332, 31992, 31998, 32994, 33300, 33310, 33315, 33320, 33324, 33325, 33328, 33330, 33334, 33335, 33338, 33345, 34998, 35298, 35332, 37324, 37328, 37998, 38318, 38330, 39294, 39332, 39972, 39978, 39984, 39990 
 
Total count in range [4, 40000]: 96










Posted by



at





No comments:
  


















Labels:
,
,
,
,
,

















        

      









Subscribe to:
Posts (Atom)